Question

14．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程与圆${（x+\sqrt{3}）}^{2}+{（y+1）}^{2}=1$相切，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切列出方程，然后求解双曲线的离心率即可．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程：bx-ay=0．
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程与圆${（x+\sqrt{3}）}^{2}+{（y+1）}^{2}=1$（圆心（-$\sqrt{3}$，-1）半径为1）相切，
可得：$\frac{|-\sqrt{3}b+a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
可得：b=$\sqrt{3}a$，两边平方b²=3a²，
即c²-a²=3a²，
即c²=4a²
可得：e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=4，（e＞1），解得e=2．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．