Question

已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为．

(1)求异面直线GE与PC所成的角；

(2)求点D到平面PBG的距离；

(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： (1)由已知 ∴PG=4 如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz，则 B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4) 故E(1，1，0) ∴异面直线GE与PC所成的角为arccos (2)平面PBG的单位法向量 ∴点D到平面PBG的距离为 (3)设F(0，y ， z) 在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则 解法二： (1)由已知 ∴PG=4 在平面ABCD内，过C点作CH//EG 交AD于H，连结PH，则 ∠PCH(或其补角)就是异面直线GE 与PC所成的角． 在△PCH中， 由余弦定理得，cos∠PCH= ∴异面直线GE与PC所成的角为arccos (2)∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG ∴平面PBG⊥平面ABCD 在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG ∴DK的长就是点D到平面PBG的距离 在△DKG，DK=DGsin45°= ∴点D到平面PBG的距离为 (3)在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC ∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM 由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD　∴FM//PG 由GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=