Question

    已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为.

（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角；

（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；

（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值.

Answer 1

答案：
解析：

答案：解法一：    （I）由已知 ∴PG=4如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz， 则 B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4） 故E（1，1，0） ∴异面直线GE与PC所成的角为（II）平面PBG的单位法向量 ∴点D到平面PBG的距离为（III）设F（0，y , z） 在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则 解法二：     （I）由已知 ∴PG=4……… 在平面ABCD内，过C点作CH//EG 交AD于H，连结PH，则 ∠PCH（或其补角）就是异面直线GE 与PC所成的角.在△PCH中， 由余弦定理得， ∴异面直线GE与PC所成的角为（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG ∴平面PBG⊥平面ABCD 在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG ∴DK的长就是点D到平面PBG的距离 在△DKG， ∴点D到平面PBG的距离为（III）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC ∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM 由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD  ∴FM//PG 由GM⊥MD得：