Question

已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为．

（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角；

（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；

（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

Answer 1

见解析

解析:

解法一：   （I）由已知

∴PG=4

如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系

o—xyz，则

B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）

故E（1，1，0）

    ∴异面直线GE与PC所成的角为arccos

（II）平面PBG的单位法向量

∴点D到平面PBG的距离为

（III）设F（0，y , z）

在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则

解法二：

（I）由已知  

    ∴PG=4

在平面ABCD内，过C点作CH//EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角.

在△PCH中，

由余弦定理得，cos∠PCH=，∴异面直线GE与PC所成的角为arccos

（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG  ∴平面PBG⊥平面ABCD

在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，

则DK⊥平面PBG  ∴DK的长就是点D到平面PBG的距离

在△DKG，DK=DGsin45°=   ∴点D到平面PBG的距离为

（III）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC

∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM

由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD  ∴FM//PG

由GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=