Question

已知，如图四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点，四面体P－BCG的体积为．

(1)求异面直线GE与PC所成的角；

(2)求点D到平面PBG的距离；

(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知，∴PG＝4． 　　在平面ABCD内，过C点作CH//EG，交AD于H，连结PH，则∠PCH(或其补角)就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，，由余弦定理得，cos∠PCH＝∴异面直线GE与PC所成的角为arccos 　　(2)∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD 　　在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG 　　∴DK的长就是点D到平面PBG的距离． 　　　在△DKG，DK＝DGsin45°＝ 　　∴点D到平面PBG的距离为． 　　(3)在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC 　　∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM． 　　由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM//PG． 　　由GM⊥MD，得GM＝GD·cos45°＝．