Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

 

Answer 1

（1）－y2＝1

（2）(－1，－)∪(，1)

【解析】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．

由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，

所以双曲线C的方程为－y2＝1．

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，

由题意得

，

故k2≠且k2<1　①．

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，

由·>2得xAxB＋yAyB>2，

xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，

于是>2，即>0，解得<k2<3　②．

由①②得<k2<1，

所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．