Question

【题目】若数列满足（； ， ），称数列为数列，记为其前项和.

（Ⅰ）写出一个满足，且的数列；

（Ⅱ）若， ，证明：若数列是递增数列，则；反之，若，则数列是递增数列；

（Ⅲ）对任意给定的整数（），是否存在首项为0的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题 是一个满足条件的 数列{ ．
（Ⅱ）若数列{是递增数列，则 ，推导出{是首项为2，公差为1的等差数列，从而得到 ；反之，若 ，由 （当且仅当 时，等号成立），推导出E数列{是递增数列．（Ⅲ） 即 ，知数列{中相邻两项 奇偶性相反，即 为偶数 为奇数，由此利用分类讨论思想能求出结果．

试题解析：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的数列.

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的数列）

（Ⅱ）若数列是递增数列，则（），

所以是首项为2，公差为1的等差数列.

故.

反之，若，由于（等号成立当且仅当），

所以

即对，恒有，故数列是递增数列.

（Ⅲ）由即，知数列中相邻两项、奇偶性相反，即， ， ，……为偶数， ， ， ，……为奇数.

①当（）时，存在首项为0的数列，使得.

例如，构造： ，…， ，…， ，其中，

， ， （）

②当（）时，也存在首项为0的数列，使得.

例如，构造： ，…， ，…， ，

其中， ， ， （），.

③当或（）时，数列中偶数项， ， ，……共有奇数项，且， ， ，……均为奇数，所以和为奇数.

又和为偶数，因此为奇数即.

此时，满足条件的数列不存在.