Question

设实系数一元二次方程x²+ax+2b-2=0有两相异实根，其中一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则

2b-8

a-1

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：设f（x）=x²+ax+2b-2，则根据根的发布得到关于a，b的不等式组，利用线性规划的知识即可得到结论．

解答： 解：f（x）=x²+ax+2b-2，
∵一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

2b-2＞0 a+2b-1＜0 a+b+1＞0

，
作出不等式组对应的平面区域如图：

2b-8

a-1

=2×

b-4

a-1

，设k=

b-4

a-1

，则k的几何意义为点（a，b）到（1，4）的斜率，
由图象可知AC的斜率最小，BC的斜率最大，
由

a+2b-1=0 a+b+1=0

，解得

a=-3 b=2

，即A（-3，2），此时AC的斜率

2-4

-3-1

=

1

2

，

b=1 a+2b-1=0

，解得

a=-1 b=1

，即B（-1，1），此时BC的斜率

1-4

-1-1

=

3

2

，
即

1

2

≤k≤

3

2

，
则1≤2k≤3，
故答案为：（1，3）

点评：本题主要考查线性规划的应用，根据一元二次根的发布得到不等式组是解决本题的关键．