Question

3．已知函数f（x）=（x²+ax+a）$\sqrt{1-2x}$．
（ I）当a=$\frac{17}{3}$时，求f（x）的极值；
（ II）若f（x）在区间（0，$\frac{1}{4}$）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）解关于导函数的不等式，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的 定义域为（-∞，$\frac{1}{2}$]，
导函数f′（x）=$\frac{-x（5x+3a-2）}{\sqrt{1-2x}}$，
当a=$\frac{17}{3}$，f′（x）=$\frac{-5x（x+3）}{\sqrt{1-2x}}$，

x	（-∞，-5）	-5	（-5，0）	0	（0，$\frac{1}{2}$）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

函数的极大值为f（0）=$\frac{17}{3}$，极小值为f（-5）=$\frac{7}{3}$$\sqrt{11}$；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，$\frac{1}{4}$）上单调递增，
则f′（x）＞0，即5x+3a-2≤0，
故3a≤2-5x在（0，$\frac{1}{4}$）上恒成立，
而2-5x的最小值是$\frac{3}{4}$，
故a≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．