Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，，P为C₁D₁的中点，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求AD与平面AMP所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-AM-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）以D点为原点建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得D、P、C、A、M各点的坐标，从而得出、的坐标，计算出•=0即可得到AM⊥PM；
（II）利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出是平面PAM的一个法向量，结合的坐标算出cos＜，＞的值，利用直线与平面所成角的定义即可得到AD与平面AMP所成角的正弦值；
（III）向量是平面PAM的一个法向量，而平面AMD的法向量为，算出、夹角的余弦值等于，从而得到二面角P-AM-D的大小为45°．
解答：解：（Ⅰ）以D点为原点，DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz…（1分）
可得，．
∴，，
由此可得，
即，可得AM⊥PM．                …（4分）
（Ⅱ）设平面PAM的一个法向量为，
则，即解得，
取y=1，得，…（6分）
∴AD与平面AMP所成角θ的正弦值
sinθ=|cos＜，＞|==．                …（9分）
（Ⅲ）由（II），向量是平面PAM的一个法向量，
∵平面AMD的法向量为，可得cos＜，＞===
∴向量，的所成角等于45°，观察图形可得：二面角P-AM-D的大小等于45°．…（13分）
点评：本题利用空间向量的方法证明线线垂直，并求直线与平面所成角和平面与平面所成角的大小．着重考查了空间坐标系的建立、空间向量的坐标运算与向量的数量积等知识，属于中档题．