题目内容
3．给出下列四个命题：①若a＞b＞0，则$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$；②若a＞b＞0，则a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}{b}$；③若a＞b＞0，则$\frac{2a+b}{a+2b}$＞$\frac{a}{b}$；④a＞0，b＞0且2a+b=1，则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为9．其中正确命题的序号是②④（把你认为正确命题的序号都填上）．
分析 根据a＞b＞0，得出$\frac{1}{b}$＞$\frac{1}{a}$＞0，判断①错误；
由a＞b＞0，得出-$\frac{1}{a}$＞-$\frac{1}{b}$，从而得出a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}{b}$，判断②正确；
由a＞b＞0，得出$\frac{2a+b}{a+2b}$-$\frac{a}{b}$＜0，判断③错误；
根据题意，利用基本不等式得出$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥9，判断④正确．
解答 解：对于①，若a＞b＞0，则ab＞0，
∴$\frac{1}{ab}$＞0，∴$\frac{1}{b}$＞$\frac{1}{a}$＞0，①错误；
对于②，由①知，若a＞b＞0，则$\frac{1}{b}$＞$\frac{1}{a}$，
∴-$\frac{1}{b}$＜-$\frac{1}{a}$，即-$\frac{1}{a}$＞-$\frac{1}{b}$，
∴a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}{b}$，②正确；
对于③，若a＞b＞0，则
$\frac{2a+b}{a+2b}$-$\frac{a}{b}$=$\frac{（2a+b）b-a（a+2b）}{b（a+2b）}$
=$\frac{{b}^{2}{-a}^{2}}{（a+2b）b}$
=$\frac{（b+a）（b-a）}{（a+2b）b}$＜0，
∴$\frac{2a+b}{a+2b}$＜$\frac{a}{b}$，③错误；
对于④，a＞0，b＞0且2a+b=1，则
$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）（2a+b）
=4+1+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}{b}}$=9，
当且仅当a=b=$\frac{1}{3}$时取等号，∴④正确．
故答案为：②④．
点评 本题考查了不等式的基本性质与基本不等式的应用问题，考查了推理能力，是中档题．
阅读快车系列答案| A． | {x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z} | B． | {x|x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z} | C． | {x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z} | D． | {x|x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z} |
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{5π}{6}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |
| A． | 20 | B． | 10 | C． | 8 | D． | 2 |
为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出舰船“唐山号”、“石家庄号”和“邯郸号”在钓鱼岛领海巡航．某日，正巡逻在A处的“唐山号”突然发现来自P处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“石家庄号”和“邯郸号”正分别位于如图所示的B、C两处，其中A在B的正东方向相距6海里处，C在B的北偏西30°方向相距4海里处．由于B、C比A距P更远，因此，4秒后B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1海里），试确定疑似敌舰相对于A点“唐山号”的位置．| A． | 1 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{5}$ |
如图，由抛物线y2=8x与直线x+y-6=0及x轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为$\frac{40}{3}$．