Question

17．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=4．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若点P在曲线C上，点Q在直线l上，求线段PQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），利用cos²φ+sin²φ=1可得普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入直线l的极坐标方程ρ（cosθ+sinθ）=4，可得直角坐标方程．
（2）令P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，（α∈[0，2π））．则点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=4，可得直角坐标方程：x+y-4=0．
（2）令P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，（α∈[0，2π））．则点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$≥$\sqrt{2}$，当且仅当$sin（α+\frac{π}{3}）$=1时取等号．
∴线段PQ的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、点到直线的距离公式、三角函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．