Question

8．已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x）．若对于任意的x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，则满足不等式f（x）＞e^x-1f（1）的x的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 构造辅助函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求导，由已知条件可知F（x）在定义域R上单调递增，将原不等式转化成$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，根据单调即可求得x的取值范围．

解答 解：设F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
F′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-{e}^{x}f（x）}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0，
∴F（x）在定义域R上单调递增，
将原不等式f（x）＞e^x-1f（1），
转化成$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即F（x）＞F（1），
∴x＞1，
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调性，考查函数的单调性的运用：解不等式，同时考查构造函数，判断单调性，属于中档题．