题目内容
5．平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）设直线l和圆C相交于A，B两点，求弦AB与其所对的劣弧围成的图形的面积．
分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得直线l的普通方程．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得极坐标方程．圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1可得直角坐标方程，进而得到圆C的极坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2}\\{ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1}\end{array}\right.$，解得：A，B．再利用扇形与三角形的面积计算公式得出．
解答 
解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t直线l的普通方程为$x+\sqrt{3}y$-2=0．
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得：ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ-2=0．
化简得直线l的方程为$ρcos（θ-\frac{π}{3}）$=1．
圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2=4，可得圆C的极坐标方程为ρ=2．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2}\\{ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1}\end{array}\right.$，解之得：A（2，0），B（2，$\frac{2π}{3}$）．
∴∠AOB=$\frac{2π}{3}$，∴S扇形AOB=$\frac{1}{2}α•{r}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{2π}{3}×{2}^{2}$=$\frac{4π}{3}$．
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$|OA||OB|sinα=$\sqrt{3}$．
∴S=S扇形AOB-S△AOB=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．
点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、曲线的交点、扇形与三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
计算高手系列答案
如图．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC=90°，且PA=2，AD=CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，点M在PD上．
已知多面体ABCDEFG是由一个平面截长方体ABCD-A1B1C1D1所得的几何体，如图所示，其中AB=2BC=2AF=4CG=4．
| A． | 孵化鸭雏 | B． | 商品鸭饲养 | ||
| C． | 商品鸭收购、育肥、加工 | D． | 羽绒服加工生产体系 |