Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为直角梯形，且， ，平面平面， ．

（）求证： 平面．

（）若二面角为直二面角，

（i）求直线与平面所成角的大小．

（ii）棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（i），（ii）见解析.

【解析】试题分析：（1）连结BD，设AC∩BD=O，设G为DE的中点，连结OG，FG，推导出四边形AOGF为平行四边形，从而AC∥FG，由此能证明AC∥平面DEF．
（2）（i）以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与平面CDE所成角的大小．
（ii）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，则，设P（x，y，z），求出P点坐标为，从而，由此能求出DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且.

试题解析：

（）证明：连接交于，

∵四边形为正方形，

∴是中点，

设是的中点，连接， ，

则，且，

∵四边形为直角梯形，且， ，

∴，且，

∴，且，

∴四边形为平行四边形，

∴，即，

又∵平面， 平面，

∴平面．

（）（i）由已知， ， ，

∴，

∵二面角为直二面角，

∴平面平面，

∴平面，

∴， ，

又四边形为正方形，

∴，

∴， ， 两两垂直，

以为原点， ， ， 分别为， ， 轴建立空间直角坐标系，

如图所示，

由得： ， ， ， ， ， ．

∴， ， ．

设平面的一个法向量为，则：

，即，

取，则， ，

∴，

设直线与平面所成的角为，则有：

，

∵，

∴，

即直线与平面所成角的大小为．

（ii）假设棱上存在点，使得平面，

设，则，

设，则，

∵，

∴，

∴， ， ，

解得， ， ，

即点坐标为，

∵，

∴，

又， ，

∴，即，

解得．

∵，

∴上存在点，使得平面，且．