Question

【题目】（本小题13分）已知数列满足：，，且．记

集合．

（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；

（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；

（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（III ）8．

【解析】（Ⅰ）由已知可知：

（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.

（Ⅲ）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知，和除以9的余数一样，

①若中有3的倍数，由（2）知：所有的都是3的倍数，所以都是3的倍数，所以除以9的余数为为3，6，3，6，...... ,或6，3，6，3......，或0，0，0，...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项.

②中没有3的倍数，则都不是3的倍数，对于除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从起，除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，...... ,不断的6项循环（可能从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，5且是4的倍数(不大于36)，只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前两项最多8项，则时，，项数为8，所以集合的元素个数的最大值为8.