Question

16．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=x+$\frac{m}{2}$y（m＞0）的最大值为2，
则y=sin（mx+$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$后的表达式为y=sin2x．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m，再由三角函数的图象平移得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{3x-y-2=0}\end{array}\right.$，得A（1，1），
化目标函数z=x+$\frac{m}{2}$y（m＞0）为$y=-\frac{2x}{m}+\frac{2z}{m}$，
由图可知，当直线$y=-\frac{2x}{m}+\frac{2z}{m}$过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1+$\frac{m}{2}=2$，即m=2．
∴y=sin（mx+$\frac{π}{3}$）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$后，得y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=sin2x．
故答案为：y=sin2x．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了函数图象的平移，是中档题．