Question

5．已知二次函数f（x）=x²+$\sqrt{m}$•x+n满足f（0）=2且方程f（x）=-2有相等实数根．
（1）求f（x）的表达式．
（2）求函数$g（x）={（\frac{1}{2}）^{f（x）}}$的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得n=2，$\sqrt{m}$=4，从而解得；
（2）由f（x）=x²+4x+2≥-2知0＜$（\frac{1}{2}）^{f（x）}$≤$（\frac{1}{2}）^{-2}$=4，从而解得．

解答 解：（1）∵f（0）=2，
∴n=2；
∵方程f（x）=-2有相等实数根，
∴x²+$\sqrt{m}$•x+4=0有相等实数根，
∴$\sqrt{m}$=4，故m=16；
故f（x）=x²+4x+2；
（2）∵f（x）=x²+4x+2≥-2，
∴0＜$（\frac{1}{2}）^{f（x）}$≤$（\frac{1}{2}）^{-2}$=4，
故函数$g（x）={（\frac{1}{2}）^{f（x）}}$的值域为（0，4]．

点评 本题考查了二次函数与二次方程的关系应用及复合函数的值域的求法．