Question

14．某班为了提高学生学习英语的兴趣，在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛，比赛分为预赛和决赛2个阶段，预赛为笔试，决赛为说英语、唱英语歌曲，将所有参加笔试的同学进行统计，得到频率分布直方图，其中后三个矩形高度之比依次为4：2：1，落在[80，90）的人数为12人．
（Ⅰ）求此班级人数；
（Ⅱ）按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，已知甲乙两位选手已经取得决赛资格，参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序．
（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；
（ii）记甲乙二人排在前三位的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）落在区间[80，90）的频率是（1-0.16）×$\frac{2}{7}$，即可得出人数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，（i）设“甲不在第一位，乙不在最后一位”为事件A，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出甲不在第一位、乙不在最后一位的概率．
（ii）随机变量的可能取值为0，1，2，利用相互独立事件的概率计算公式即可得出随机变量X的分布列．

解答 解：（Ⅰ）落在区间[80，90）的频率是$（1-0.16）×\frac{2}{7}=0.24$，
所以人数$n=\frac{12}{0.24}=50$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，
（i）设“甲不在第一位，乙不在最后一位”为事件A，
则$P（A）=\frac{A_5^5+A_4^1A_4^1A_4^4}{A_6^6}=\frac{7}{10}$，
所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率为$\frac{7}{10}$．
（ii）随机变量的可能取值为0，1，2，$P（X=0）=\frac{A_3^2A_4^4}{A_6^6}=\frac{1}{5}$，$P（X=1）=\frac{C_2^1A_3^1A_3^1A_4^4}{A_6^6}=\frac{3}{5}$，$P（X=2）=\frac{A_3^2A_4^4}{A_6^6}=\frac{1}{5}$，
随机变量X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

因为$E（X）=0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1$，
所以随机变量的数学期望为1．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．