Question

16．若双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线C上一点，满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0的点P依次记为P₁、P₂、P₃、P₄，则四边形P₁P₂P₃P₄的面积为（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{5}}{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． $\frac{8\sqrt{6}}{5}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 求出双曲线的焦点坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得P的轨迹方程，联立双曲线的方程，求出交点，可得它们构成矩形，求出长和宽，即可得到所求面积．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
焦点坐标为（-$\sqrt{5}$，0），（$\sqrt{5}$，0），
满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0的点P，
设P（x，y），则（-$\sqrt{5}$-x，-y）•（$\sqrt{5}$-x，-y）=x²-5+y²=0，
即有圆x²+y²=5，
联立双曲线的方程双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
可得交点分别为P₁（$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$），P₂（-$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
P₃（-$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），P₄（$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
它们构成一个矩形，长为$\frac{4\sqrt{30}}{5}$，宽为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
面积为$\frac{4\sqrt{30}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8\sqrt{6}}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点坐标和方程的运用，考查解方程的能力，以及四边形面积的计算，属于基础题．