Question

如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0.4（km）。沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用，从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km。当山坡上公路长度为lkm（1≤l≤2）时，其造价为（l²+1）a万元。已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），OA=（km），
（Ⅰ）在AB上求一点D，使沿折线PDAD修建公路的总造价最小；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；
（Ⅲ）在AB上是否存在两个不同的点D′、E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于（Ⅱ）中得到的最小总造价，证明你的结论。

Answer 1

解：（I）如图，PH⊥α，HB，PB⊥AB， 由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB， 所以∠PBH是山坡面与α所成二面角的平面角， 则∠PBH=， 设BD=x(km)，0≤x≤1.5， 则， 记总造价为万元， 据题设有 ， 当(km)时总造价最小。
（Ⅱ）设AE=y(km)，0≤y≤，总造价为万元， 根据题设有 ， 则， 由，得y=1， 当y∈（0，1）时， 在（0，1）内是减函数； 当内是增函数； 故当y=1，即AE=1(km)时总造价最小， 且最小总造价为万元。 （Ⅲ）不存在这样的点D′、E′。 事实上，在AB上任取不同的两点D′、E′。 为使总造价最小，E′显然不能位于D′与B之间， 故可设E′位于D′与A之间， 且，0≤x1+y1≤， 总造价为S万元， 则， 类似于（I）、（II）的讨论知，， 当且仅当同时成立时， 上述两个不等式等号同时成立， 此时(km)，AE′=1(km)，S取得最小值， 点D′、E′分别与点D、E重合； 所以不存在这样的点D′、E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价。