Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF⊥A₁D，EF⊥AC，求证：EF∥BD₁。

Answer 1

证明：连结A₁C₁，由于AC∥A₁C₁，EF⊥AC，
∴EF⊥A₁C1，
又EF⊥A₁D，A₁D∩A₁C₁=A₁，
∴EF⊥平面A₁C₁D，   ①
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁平面A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥A₁C₁，
又A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵BB₁∩B₁D₁=B₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
而BD₁平面BB₁D₁D，
∴BD₁⊥A₁C₁，
同理，DC₁⊥BD₁，DC₁∩A₁C₁=C₁，
∴BD₁⊥平面A₁C₁D，   ②
由①②，可知EF∥BD₁。