Question

【题目】对于给定数列，若数列满足：对任意，都有，则称数列是数列的“相伴数列”.

（1）若，且数列是数列的“相伴数列”，试写出的一个通项公式，并说明理由；

（2）设，证明：不存在等差数列，使得数列是数列的“相伴数列”；

（3）设,（其中），若是数列的“相伴数列”，试分析实数b、q的取值应满足的条件.

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

（1）设，代入，运算得到小于0，利用“相伴数列”定义即可判断出；

（2）假设存在等差数列是的“相伴数列”，则有 分别讨论与时与的大小，根据是等差数列推出矛盾 所以，不存在等差数列，使得数列是的“相伴数列”.

（3）对b的大小进行分类讨论，写出的前后连续两项，根据得出b、q的取值满足的条件．

解：（1），

此时,所以 是数列的“相伴数列”．

注：答案不唯一，只需是正负相间的数列．

（2）证明，假设存在等差数列是的“相伴数列”，则有

若，则由 得…①，

又由 得

又因为是等差数列，所以，得，与①矛盾

同理，当，则由 得…②，

又由 得,

又因为是等差数列，所以，得，与②矛盾，

所以，不存在等差数列，使得数列是的“相伴数列”.

（3）由于，易知 且，

①当 时， ，由于对任意，都有，

故只需 ，

由于，所以当n=2k,k时，，

故只需当n=2k+1,k时，=，

即<b对k恒成立，得；

②当0<b<1时，,,

与矛盾，不符合题意；

③当b<-1时，，

当n=2k+1,k时，，

故只需当n=2k,k时，，

即>b对k恒成立，得；

④当-1时，,,

下证只需bq>2,若bq>2，则q<，

当n=2k+1,k时，，

当n=2k,k时，，符合题意．

综上所述，实数的取值应满足的条件为：

或.