Question

已知函数f（x）=

( 1 2 )x-1(x≤0) -x2+x(x＞0)

，则函数g（x）=f（log 

1

2

x）的单调递增区间为

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：先求g（x）=

x-1(x≥1) -log2 1 2 x+log 1 2 x(0＜x＜1)

，然后在每段函数里求函数的单调递增区间即可，可通过求导，解g′（x）＞0得出函数g（x）的单调增区间．

解答： 解：解log

1

2

x≤0得：x≥1，(

1

2

)l0g

1

2

x=x；
∴g(x)=

x-1(x≥1) -log2 1 2 x+log 1 2 x(0＜x＜1)

；
当x≥1时，g（x）=x-1在[1，+∞）上单调递增；
当0＜x＜1时：g′（x）=

ln 1 2 (1-log 1 2 x2)

x

；
解ln

1

2

(1-log

1

2

x2)＞0得：0＜x＜

2

2

，∴函数g（x）在（0，

2

2

]上单调递增．
综上得函数g（x）的单调递增区间为（0，

2

2

]∪[1，+∞）．
故答案为：（0，

2

2

]∪[1，+∞）．

点评：要在每一段函数里求g（x），考查分段函数的单调性，及通过求导，解g′（x）＞0得到g（x）的单调增区间的方法．