Question

已知递增等差数列{a_n}中的a₂，a₅是函数f（x）=x³-7x+10的两个零点，数列{b_n}满足：点（b_n，S_n）在直线y=-x+1上，其中S_n是数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由函数零点的定义和递增数列的特征，求出a₂、a₅的值，再求出公差d，代入等差数列的通项公式化简；
（2）点（b_n，S_n）在直线y=-x+1，由“n=1时b₁=S₁”和“n≥2时b_n=S_n-S_n-1”化简，根据等比数列的定义判断出数列{b_n}是等比数列，再由等比数列的前n项和公式求出S_n．

解答： 解：（1）因为a₂，a₅是函数f（x）=x³-7x+10的两个零点，
所以a₂=2、a₅=5或a₂=5、a₅=2，
因为等差数列{a_n}是递增数列，
所以a₂=2、a₅=5，则公差d=

a5-a2

5-2

=1，
则a_n=a₂+（n-2）d=n；
（2）因为点（b_n，S_n）在直线y=-x+1上，则S_n=-b_n+1．
当n=1时，b₁=S₁=-b₁+1，则

1

2

．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（-b_n+1）-（-b_n-1+1），
化简得：2b_n=b_n-1，即b_n=

1

2

b_n-1，
所以数列{b_n}为首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
则S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．

点评：本题考查等差数列的通项公式，等比数列的定义、前n项和公式，数列的单调性，公式：“n=1时a₁=S₁”和“n≥2时a_n=S_n-S_n-1”的应用，以及函数的零点的定义，涉及的知识点多，比较综合．