题目内容
7．
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，AC1⊥A1B，M是A1B1的中点，N是AB中点，求证：（1）A1B⊥平面AMC1；
（2）平面AMC1∥平面NB1C．
分析 （1）推导出C1M⊥AA1，C1M⊥A1B1，从而A1B⊥C1M，由此能证明A1B⊥平面AMC1．
（2）推导出MC1∥NC，MB1$\underset{∥}{=}$AN，四边形ANB1M是平行四边形，∴AM∥NB1，由此能证明平面AMC1∥平面NB1C．
解答 证明：（1）∵正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，AC1⊥A1B，M是A1B1的中点，
∴C1M⊥AA1，C1M⊥A1B1，
又AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面ABB1A1，A1B?平面ABB1A1，
∴A1B⊥C1M，
又AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AMC1．
（2）∵正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，AC1⊥A1B，M是A1B1的中点，N是AB中点，
∴MC1∥NC，MB1$\underset{∥}{=}$AN，∴四边形ANB1M是平行四边形，
∴AM∥NB1，
∵AM∩C1M=M，B1N∩NC=N，AM，C1M?平面AMC1，NB1，NC?平面NB1C，
∴平面AMC1∥平面NB1C．
点评 本题考查线面垂直、面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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