Question

13．在平面直角坐标系xOy中．点M不与点O重合，称射线OM与圆x²+y²=1的交点N为点M的“中心投影点“．
（1）点M（1，$\sqrt{3}$）的“中心投影点”为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
（2）曲线x²$-\frac{{y}^{2}}{3}=1$上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）联立射线OM的方程和圆的方程，解方程即可得到N的坐标；
（2）求出双曲线的渐近线方程，联立圆方程求出交点，可得所求曲线为两段圆弧，运用弧长公式即可得到所求．

解答 解：（1）由题意可得射线OM方程为y=$\sqrt{3}$x（x＞0）与圆x²+y²=1
联立，解得x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即有N（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（2）双曲线x²$-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，
代入圆x²+y²=1可得四个交点（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
即有曲线x²$-\frac{{y}^{2}}{3}=1$上所有点的“中心投影点”构成的曲线为两段圆弧，
且圆心角为120°，半径为1，则弧长为$\frac{4π}{3}$．
故答案为：（1）（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；（2）$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查联立方程组求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．