题目内容

定义域为（0，+∞）的可导函数f（x）满足xf′（x）＞f（x）且f（2）=0，则
f(x)
x
＜0的解集为（　　）
A．（0，2）B．（2，+∞）C．（0，2）∪（2，+∞）D．（0，+∞）
因为xf′（x）＞f（x），所以[
f(x)
x
]′=[xf′（x）-f（x）]
1
x2
＞0，
即F（x）=
f(x)
x
在定义域内递增函数，又因F（2）=
f(2)
2
=0，
则不等式
f(x)
x
＜0的解集就是不等式F（x）＜F（2）的解集，解得{x|0＜x＜2}．
故选A．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1，f（x）＞0．
（1）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并说明理由．
（2）一个各项为正数的数列{an}满足f（sn）=f（an）+f（an+1）-1（n∈N*），其中sn是数列{an}的前n项的和，求数列的通项an．
（2013•安徽）函数y=ln（1+
1
x
）+
1-x2
的定义域为
（0，1]
（0，1]
．
函数f(x)=
2
lnx
+
4-x2
的定义域为
（0，1）∪（1，2]
（0，1）∪（1，2]
．
函数f（x）=lg（2x-1）的定义域为
（0，+∞）
（0，+∞）
．
（2012•河北区一模）如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：如图1，在区间（0，1）中数轴上的点M对应实数m；如图2，将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合；如图3，将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），射线AM与x轴交于点N（n，0）．则n就是m的象，记作f（m）=n．

下列说法：
①f（x） 的定义域为（0，1），值域为R；
②f（x） 是奇函数；
③f（x） 在定义域上是单调函数；
④f（
1
4
）=-
1
2
；
⑤f（x） 的图象关于点（
1
2
，0）对称．
其中正确命题的序号是
①③⑤
①③⑤
．（写出所有正确命题的序号）

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