Question

（2012•河北区一模）如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：如图1，在区间（0，1）中数轴上的点M对应实数m；如图2，将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合；如图3，将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），射线AM与x轴交于点N（n，0）．则n就是m的象，记作f（m）=n．

下列说法：
①f（x） 的定义域为（0，1），值域为R；
②f（x） 是奇函数；
③f（x） 在定义域上是单调函数；
④f（

1

4

）=-

1

2

；
⑤f（x） 的图象关于点（

1

2

，0）对称．
其中正确命题的序号是

①③⑤

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：①通过M点的运动轨迹以及直线的变化可求定义域和值域．
②由定义域不关于原点对称，可判断函数不是奇函数．
③在圆上，当点M在圆上运动时，N由x的负半轴向正半轴运动时，可判断函数的单调性．
④当m=

1

4

时，此时M恰好处在左半圆弧的中点上，此时可以求出对应直线AM的方程，进而可求n．
⑤根据点M的运动过程，可知函数的对称性．

解答：解：①因为图中展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程，所以函数的定义域为（0，1），值域为R．所以①正确．
②由①知函数的定义域为（0，1），关于原点不对称，所以函数f（x）为非奇非偶函数，所以②错误．
③图3可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故f（x）在定义域上单调递增．所以③正确．
④因为AB=1，所以圆的周长为1，由2πr=1，所以解得圆的半径r=

1

2π

，所以圆心坐标为（0，1-

1

2π

）．当m=

1

4

时，此时M恰好处在左半圆弧的中点上，此时M的坐标为（-

1

2π

，1-

1

2π

），对应直线AM的方程为y=x+1．当y=0，时，解得x=-1，即N（-1，0），所以n=-1，即f（

1

4

）=-1．所以④错误．
⑤图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知f（x）的图象关于点（

1

2

，0）对称，所以⑤正确．
所以正确命题的序号是①③⑤．
故答案为：①③⑤

点评：本题考查了函数的实际应用，考查学生的阅读和分析能力．本题难度较大，正确阅读题意知解题的关键．