Question

设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求y＝f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

Answer 1

 (1)解析：方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′＝a＋，于是解得故f＝

(2)证明：设P为曲线上任一点，

由y′＝1＋知，曲线在点P处的切线方程为

y－y₀  ＝，

即y－，

令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.

令y＝x，得y＝x＝2x₀，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为.

所以点P处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.

故曲线y＝f上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.