Question

若0＜m，n＜1，则

mn(1-m-n)

(m+n)(1-m)(1-n)

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：只要考虑0＜m，n＜1，m+n＜1的情形即可．令x=m，y=n，z=1-m-n，则x+y+z=1．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：只要考虑0＜m，n＜1，m+n＜1的情形即可．
令x=m，y=n，z=1-m-n，则x+y+z=1．
∴

mn(1-m-n)

(m+n)(1-m)(1-n)

=

xyz

(x+y)(y+z)(x+z)

≤

xyz

2 xy •2 yz •2 xz

=

1

8

，
当且仅当x=y=z=

1

3

时取等号．
故答案为：

1

8

．

点评：本题考查了通过换元变形利用基本不等式的性质，属于中档题．