Question

已知函数f（x）=log

1

2

[x2-2(2a-1)x+8]（a∈R）．
（1）若使函数f（x）在[a，+∞）上为减函数，求a的取值范围；
（2）当a=

3

4

时，求y=f[sin（2x-

π

3

）]，x∈[

π

12

，

π

2

]的值域．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，建立不等式组，即可求a的取值范围；
（2）确定y=f[sin（2x-

π

3

）]，结合三角函数、对数函数的性质，即可求函数的值域．

解答： 解：（1）∵函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，
∴

2a-1≤a a2-2(2a-1)a+8＞0

∴-

4

3

＜a≤1；
（2）当a=

3

4

时，f（x）=log

1

2

(x2-x+8)，
∴y=f[sin（2x-

π

3

）]=log

1

2

{sin(2x-

π

3

)-

1

2

]2+

31

4

}，
∵x∈[

π

12

，

π

2

]，∴-

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴函数的值域为[log

1

2

10，log

1

2

35

4

]．

点评：本题考查函数的单调性，函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．