Question

已知函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程有且只有一个解，求实数m的取值范围；
（3）当且，时，若有，求证：.

Answer 1

（1）的递增区间为，递减区间为和；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）对求导可得，令，或，由导数与单调性的关系可知，所以递增区间为，递减区间为；
（2）若方程有解有解，则原问题转化为求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域内即可，由（1）知，， 方程有且只有一个根，又的值域为，;
（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，
则有，，又，
即，同理，又，，且在上单调递减，
，即.
试题解析：（1），令，即，解得，
令，即，解得，或，
的递增区间为，递减区间为和.        4分
（2）由（1）知，，    6分
方程有且只有一个根，又的值域为，由图象知
                        8分
（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，
则有，，又，
即，                         11分
，又，，且在上单调递减，
，即.                      13分