设数列{an}的前n项和为Sn.Sn=n2+n.数列{bn}的通项公式为bn=xn-1．(1)求数列{an}的通项公式,(2)设cn=anbn.数列{cn}的前n项和为Tn.求Tn,(3)设dn=$\frac{4}{{n}}$.Hn=d1+d2+-+dn(n∈N*).是否存在最大的整数m.使得对任意n∈N*.均有Hn＞$\frac{m}{9}$成立?若存在.求出m.若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=n²+n，数列{b_n}的通项公式为b_n=x^n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）设d_n=$\frac{4}{{n（{a_n}+4）}}$，H_n=d₁+d₂+…+d_n（n∈N^*），是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*，均有H_n＞$\frac{m}{9}$成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由．

分析（1）化简a_n=$\left\{\begin{array}{l}S1，n=1\\ Sn-Sn-1，n≥2\end{array}$=$\left\{\begin{array}{l}2，n=1\\ 2n，n≥2\end{array}$=2n即可；
（2）化简c_n=a_nb_n=2nx^n-1，从而可得T_n=2+4x+6x²+8x³+…+2nx^n-1，利用错位相减法求前n项和即可；
（3）化简${d_n}=\frac{4}{n（2n+4）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，从而由裂项求和法求前n项和，再由单调性化恒成立问题为最值问题即可．

解答解：（1）a_n=$\left\{\begin{array}{l}S1，n=1\\ Sn-Sn-1，n≥2\end{array}$=$\left\{\begin{array}{l}2，n=1\\ 2n，n≥2\end{array}$=2n；
（2）c_n=a_nb_n=2nx^n-1，
T_n=2+4x+6x²+8x³+…+2nx^n-1，①
则xT_n=2x+4x²+6x³+8x⁴+…+2nxⁿ，②
①-②，得（1-x）T_n=2+2x+2x²+…+2nx^n-1-2nxⁿ，
当x≠1时，（1-x）T_n=2×$\frac{1-{x}^{n}}{1-x}$-2nxⁿ，
则T_n=$\frac{2-2（n+1）{x}^{n}+2n{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}$，
当x=1时，T_n=2+4+6+8+…+2n=n²+n．
（3）由（1）可得${d_n}=\frac{4}{n（2n+4）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，
则${H_n}={d_1}+{d_2}+…+{d_n}（n∈{N^*}）$
=（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$；
显然H_n为关于n的增函数，故${（{H_n}）_{min}}={H_1}=\frac{2}{3}$，
于是欲使${H_n}＞\frac{m}{9}对n∈{N^*}$恒成立，
则$\frac{m}{9}＜\frac{2}{3}，则m＜6$，
∴存在最大的整数m=5满足题意．

点评本题考查了数列的通项公式的求法及前n项和的求法，同时考查了恒成立问题及最值问题，属于难题．

练习册系列答案

3．已知正数x，y满足x+2y=1，求$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+3y}$的最小值．

3^y＜3^x

x³＞y³

log₄x＜log₄y

（$\frac{1}{4}$）^x＜（$\frac{1}{4}$）^y

7．设z₁=1+i，Z₂=-1+i，复数Z₁和Z₂在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，求△AOB的面积．

17．已知x，y满足：$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y}$=1．
（Ⅰ）若x＞0，y＞0，求2x+y的最小值；
（Ⅱ）解关于x的不等式：y≥2x．

4．已知x=2，y=1是方程（x+$\sqrt{3}$y）（x-$\sqrt{3}$y）=1的解，请再写出此方程的两组正整数解．

1．

如图所示，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求当三棱锥A-CBE的体积取得最大值时，直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

2．下列说法错误的是（　　）

	A．	设有一个回归方程为$\widehat{y}$=3-5x，则变量x每增加一个单位，y平均增加5个单位
	B．	回归直线$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$必过点（$\overline{x}$，$\overline{y}$）
	C．	在一个2×2列联表中，由计算得随机变量K²的观测值k=13.079，则可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为这两个变量间有关系
	D．	将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变

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