Question

如图，用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为am²，为使所用材料最省，底宽应为多少米？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：设矩形的底宽为xm，则半圆的半径为

x

2

m，可表示矩形面积，进而表示矩形另一边长，可得铁丝的长为x的函数，用导数可求得函数的极小值点，即最小值点，可得结果．

解答： 解：如图，设矩形的底宽为xm，则半圆的半径为

x

2

m，
半圆的面积为

π

8

x2m²，∴矩形的面积为（a-

π

8

x2）m²，
∴矩形的另一边长为（

a

x

-

π

8

x）m．
因此铁丝的长为l（x）=

πx

2

+x+2(

a

x

-

π

8

x)=（1+

π

4

）x+

2a

x

，0＜x＜

8a π

，
∴l′(x)=1+

π

4

-

2a

x2

．
令l′(x)=1+

π

4

-

2a

x2

=0，得x=±

8a 4+π

（负值舍去）．
当x∈(0，

8a 4+π

)时，l′（x）＜0；当x∈（

8a 4+π

，

8a π

）时，l′（x）＞0．
因此，x=

8a 4+π

是函数l（x）的极小值点，也是最小值点．
所以，当底宽为

8a 4+π

m时，所用材料最省．

点评：该题考查利用导数求解函数的最值，在实际问题中正确建立适当的函数模型是解题关键．