Question

如图，在四棱锥P-ABCD中 PA⊥底面ABCD，PC⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA=AB=BC=3．
（1）求异面直线PB与CD所成的角；
（2）在PB上是否存在点E，是PD∥平面EAC？若存在，求出E点的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB与CD所成的角．
（2）PB上存在点E，使PD∥平面EAC，设

PE

=λ

PB

，0＜λ＜1，E（a，b，c），从而E（3λ，0，3-3λ），由此利用向量法能求出在PB上存在点E，使PD∥面EAC，且

PE

=

2

3

PB

．

解答： 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则P（0，0，3），B（3，0，0），C（3，3，0），
设D（0，y，0），则

PC

=（3，3，-3），

CD

=（-3，y-3，0），
∵PC⊥CD，∴

pC

•

CD

=-9+3y-9=0，解得y=6，
∴AD=6，D（0，6，0），
∴

PB

=（3，0，-3），

CD

=（-3，3，0），
∴|os＜

PB

，

CD

＞|
=|

PB • CD

| PB |•| CD |

|=|

-9

18 • 18

|=

1

2

，
∴异面直线PB与CD所成的角为60°．
（2）PB上存在点E，使PD∥平面EAC．
设

PE

=λ

PB

，0＜λ＜1，E（a，b，c），
即（a，b，c-3）=（3λ，0，-3λ），
∴E（3λ，0，3-3λ），

AE

=（3λ，0，3-3λ），

AC

=（3，3，0），
设平面AEC的法向量

n

=(x，y，z)，则

n • AE =3λx+(3-3λ)z=0 n • AC =3x+3y=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，

3λ

3λ-3

），

PD

=（0，6，-3），
∵PD∥平面EAC，∴

PD

•

n

=0-6-3×

3λ

3λ-3

=0，
解得λ=

2

3

，
∴在PB上存在点E，使PD∥面EAC，且

PE

=

2

3

PB

．

点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查在PB上是否存在点E，是PD∥平面EAC的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．