Question

16．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：

年龄 （岁）	7	8	9	10	11	12	13
身高 （cm）	121	128	135	141	148	154	160

（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{1}-\overline{x}）（{y}_{1}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{1}-\overline{x}）^{2}}$，$\overline{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得$\widehat{a}$，由此求得线性回归方程；
（Ⅱ）将先15代入（Ⅰ）中的回归方程即可求得张三同学15岁时的身高．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$（7+8+9+10+11+12+13）=10，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（121+128+135+141+148+154+160）=141，
$\sum_{i=1}^{7}$（${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=9+4+1+0+1+4+9=28，
$\sum_{i=1}^{7}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-3）×（-20）+（-2）×（-13）+（-1）×（-6）+0×0+1×7+2×13+3×19=182，
所以$\widehat{b}$=$\frac{182}{28}$=$\frac{13}{2}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=141-$\frac{13}{2}$×10=76，
所求回归方程为$\widehat{y}$=$\frac{13}{2}$x+76．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$\widehat{b}$=$\frac{13}{2}$＞0，
故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6.5cm．
将x=15代入（Ⅰ）中的回归方程，得$\widehat{y}$=$\frac{13}{2}$×15+76=173.5，
故预测张三同学15岁的身高为173.5cm．

点评 本题考查了求线性回归方程问题，考查计算能力，是一道中档题．