题目内容
4．
如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB斜率为1时，求弦AB长；
（3）过椭圆的对称中心O，作直线L，交椭圆与M，N，三角形FMN是否存在在大面积？若存在，求出它的最大面积值．若不存在，说明理由．
分析 （1）$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，2a=4，又a2=b2+c2，解得：a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，即可求出椭圆的方程；
（2）写出直线AB的方程，联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的横坐标，代入弦长公式求弦AB长；
（3）分L的斜率存在和不存在求解，当直线L的斜率不存在时，M，N为椭圆短轴的两个端点，直接求面积，当直线L的斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，求出M，N的纵坐标，代入弦长公式可得面积的范围，则答案可求．
解答 解：（1）∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，2a=4，
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，
又a2=b2+c2，解得：b2=1，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由题意可知直线AB的方程为y=x-$\sqrt{3}$，
联立直线与椭圆方程得：5x2-8$\sqrt{3}$x+8=0，
解得${x}_{1}=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5}，{x}_{2}=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{2}×\frac{4\sqrt{2}}{5}=\frac{8}{5}$；
（3）当直线L的斜率不存在时，M，N为椭圆短轴的两个端点，
则|MN|=2b=2，F（$\sqrt{3}$，0），
∴${S}_{△FMN}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
当直线L的斜率存在时，设直线方程为y=kx（k≠0），
联立直线方程与椭圆方程得（1+4k2）y2-4k2=0，解得y=$±\frac{2|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
∴${S}_{△FMN}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×|\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}|$$＜\sqrt{3}$．
综上，当直线L与y轴重合时，所得三角形FMN的面积最大，最大面积为$\sqrt{3}$．
点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，训练了求解直线和圆锥曲线相交的问题，考查计算能力，是中档题．
| A． | x2+y2=$\frac{1}{5}$ | B． | （x-1）2+y2=$\frac{2}{5}$ | C． | x2+y2=$\frac{4}{5}$ | D． | x2+y2=$\frac{3}{5}$ |
若曲线C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），（y≤0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$且过点P（2$\sqrt{3}$，-1），曲线C2：x2=4y，自曲线C1上一点A作C2的两条切线切点分别为B，C．