Question

12．已知函数f（x）=ax（a∈R），g（x）=$\frac{b}{x}$+2lnx（b∈R），G（x）=f（x）-g（x），且G（1）=0，G（x）在x=1处的切线斜率为0
（I）求a，b；
（Ⅱ）设a_n=G′（$\frac{1}{n}$）+n-2，求证：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{11}{18}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出G（x）的导数，求得切线的斜率，可得a+b=2，又a=b，可得a=b=1：
（Ⅱ）求出导数，求得a_n=n²-n-1，验证n=1，2成立，当n≥3时，$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n+1}$），运用裂项相消求和即可得证．

解答 解：（I）G（x）=ax-$\frac{b}{x}$-2lnx（x＞0），
由G（1）=0得：a-b=0，
∵${G^/}（x）=a+\frac{b}{x^2}-\frac{2}{x}$
又∵G′（1）=0，则a+b=2，
∴a=1，b=1；
（II）${G^/}（x）=1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}（x＞0）$，
∵${a_n}={G^/}（\frac{1}{n}）+n-2$，∴${a_n}={n^2}-n-1$，
∴$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{n^2}-n-1}}$，
易证：n=1时，$\frac{1}{a_1}＜\frac{11}{18}$；n=2时$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}＜\frac{11}{18}$；
n≥3时，$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{n^2}-n-1}}＜\frac{1}{{{n^2}-n-2}}=\frac{1}{（n-2）（n-1）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}＜-1+1+\frac{1}{3}（1-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{1}{3}（\frac{11}{6}-\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）＜\frac{11}{18}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查不等式的证明，注意运用放缩法和不等式的性质，属于中档题．