Question

20．已知集合A={（x，y）|（x-1）²+（y-2）²≤$\frac{4}{5}$}，B={（x，y）||x-1|+2|y-2|≤a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是a≥$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 首先，令|x-1|=m，|y-2|=n，（m≥0，n≥0），然后，将集合A，B用m，n表示，再结合条件A⊆B，进行求解．

解答 解：令|x-1|=m，|y-2|=n，（m≥0，n≥0），
根据集合A得，m²+n²≤$\frac{4}{5}$，
根据集合B得，m+2n≤a，
∵A⊆B，
∴a≥（a+2b）_max，
构造辅助函数f（m）=m+2n-a+λ（m²+n²-$\frac{5}{4}$）
f（n）=m+2n-a+λ（m²+n²-$\frac{5}{4}$），
∴f′（m）=1+2λm，
f′（n）=2+2λn，
令f′（m）=1+2λm=0，
f′（n）=2+2λn=0，
得到 m=-$\frac{1}{2λ}$，n=-$\frac{1}{λ}$，
∵m²+n²=$\frac{4}{5}$，
∴λ=±1，
∵m≥0，n≥0，
∴λ=1，
∴m=$\frac{1}{2}$，n=1时，m+2n有最大值，
∴a≥（m+2n）_max=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，
∴a≥$\frac{5}{2}$，
故答案为：a≥$\frac{5}{2}$．

点评 本题重点考查集合间的基本关系，属于中档题．