题目内容
【题目】焦距为
的椭圆
(
)，如果满足“
”，则称此椭圆为“等差椭圆”.
（1）如果椭圆()是“等差椭圆”，求
的值；
（2）如果椭圆 ()是“等差椭圆”，过
作直线
与此“等差椭圆”只有一个公共点，求此直线的斜率；
（3）椭圆()是“等差椭圆”，如果焦距为12，求此“等差椭圆”的方程；
（4）对于焦距为12的“等差椭圆”，点
为椭圆短轴的上顶点，
为椭圆上异于点的任一点，
为关于原点
的对称点(也异于)，直线
分别与
轴交于
两点，判断以线段
为直径的圆是否过定点？说明理由.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）是过定点
，理由见解析；
【解析】
（1）联立
与
，消去
，化简可得结果；
（2）联立直线与椭圆方程，根据判别式等于0，可解得结果；
（3）联立
解出
即可得到结果.
（4）设
，则
，利用直线方程求出
的坐标，进而求出以线段
为直径的圆的方程，根据圆的方程得到定点坐标.
（1）因为椭圆
(
)是“等差椭圆”，所以，
所以
，又，所以
，化简得
.
（2）显然直线
有斜率，设为
，则直线
，
由（1）知
，所以椭圆方程为：
，
联立
，消去
并整理得
，
因为直线与此“等差椭圆”只有一个公共点，
所以
，化简得
，所以
.
（3）因为
，所以
，所以
，又
，
联立，解得
，
所以此“等差椭圆”的方程为：.
（4）是过定点，理由如下：
由（3）可知椭圆方程为：，
所以
，设，则，
所以直线
的方程为：
，令
，得
，所以
，
同理可得
，
所以以为直径的圆的方程为
，
结合
，化简得 
，
令
，得
，所以该圆恒过定点.
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