题目内容
【题目】设,椭圆
:
与双曲线
:
的焦点相同.
(1)求椭圆与双曲线
的方程;
(2)过双曲线的右顶点作两条斜率分别为
,
的直线
,
,分别交双曲线
于点
,
(
,
不同于右顶点),若
,求证:直线
的倾斜角为定值,并求出此定值;
(3)设点,若对于直线
,椭圆
上总存在不同的两点
与
关于直线
对称,且
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)椭圆的方程为
,双曲线
的方程为
;(2)详见解析.(3)见解析。
【解析】
(1)利用椭圆和双曲线的性质,结合焦点相同,建立方程,计算m值,即可。(2)设出直线方程,代入双曲线方程,建立等式,计算P的坐标,同理得到Q的坐标,结合
,可以得到
,发现直线PQ与x轴平行,故证之。(3)结合题意,设出直线AB的方程,代入椭圆解析式中,建立方程,计算出AB的中点M坐标,而M又在直线l上,代入,结合题目所提供的不等式,建立不等关系,即可得到b的范围。
解:(1)由题意,,所以
.
所以椭圆的方程为
,双曲线
的方程为
.
(2)双曲线的右顶点为
,因为
,不妨设
,则
,
设直线的方程为
,
由,得
,
则,(
),
.
同理,,
,
又,所以
,
.
因为,所以直线
与
轴平行,即
为定值
,倾斜角为0. ,
(3)设,
,直线
的方程为
,
由整理得
,
△,故
.
,
,
设的中点为
,则
,
,
又在直线
上,所以
,
.
因为,
,
所以
,所以
.又
,
。
即.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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