题目内容
如图所示的几何体中，ABC-A1B1C1为正三棱柱，点D在底面ABC中，且DA=DC=AC=2，AA1=3，E为棱A1C1的中点．（Ⅰ）证明：平面A1C1D⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-DE-C1的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定
专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）以A为坐标原点，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系．求出D，A1，C1，C，B，E的坐标，以及向量DE，A1C1，DE的坐标，证明它们垂直，再运用面面垂直的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）求出
，
的坐标，设平面C1DE的一个法向量为
=（x，y，z），运用向量垂直的条件，求出法向量m，同理可得平面CDE的法向量
，再由两向量的夹角公式，即可得到所求的余弦值．
（Ⅱ）求出
| EC1 |
| DC |
| m |
| n |
解答：
（Ⅰ）证明：由题意可知，△ACD与△ABC为全等的等边三角形．以A为坐标原点，
AD，AA1所在直线分别为x轴，z轴，建立空间直角坐标系．如图所示，
D（2，0，0），A1（0，0，3），C1（1，
，1），C（1，
，0），B（-1，
，0），E（
，
，0）
=（-3，
，0），
=（1，
，0），
=（-
，
，3），
∵
•
=-3+3=0，
•
=-
+
=0，
∴A1C1⊥DB，A1C1⊥DE，又DB∩DE=D，DB，DE?平面BDEl，
∴A1C1⊥平面BDE，又A1C1?平面AC1D，∴平面A1C1D⊥平面BDE；
（Ⅱ）解：
=（
，
，0），
=（-1，
，0）
设平面C1DE的一个法向量为
=（x，y，z），则
，令x=
，
=(
，-1，
)，
同理可得平面CDE的法向量
=（
，1，
），
∴cos＜
，
＞=
=
=
∵二面角为锐角二面角，∴二面角C-DE-C1的余弦值为
．
（Ⅰ）证明：由题意可知，△ACD与△ABC为全等的等边三角形．以A为坐标原点，AD，AA1所在直线分别为x轴，z轴，建立空间直角坐标系．如图所示，
D（2，0，0），A1（0，0，3），C1（1，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| DB |
| 3 |
| A1C1 |
| 3 |
| DE |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵
| DB |
| A1C1 |
| DE |
| A1C1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴A1C1⊥DB，A1C1⊥DE，又DB∩DE=D，DB，DE?平面BDEl，
∴A1C1⊥平面BDE，又A1C1?平面AC1D，∴平面A1C1D⊥平面BDE；
（Ⅱ）解：
| EC1 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| DC |
| 3 |
设平面C1DE的一个法向量为
| m |
|
| 3 |
| m |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
同理可得平面CDE的法向量
| n |
| 3 |
| ||
| 3 |
∴cos＜
| m |
| n |
| ||||
|
|
3-1+
| ||||||||
|
2
| ||
| 13 |
∵二面角为锐角二面角，∴二面角C-DE-C1的余弦值为
2
| ||
| 13 |
点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面、面面垂直的判定和性质，同时考查二面角的平面角的求法，考查运用空间向量，证明线面垂直，以及应用法向量求二面角的平面角，考查运算能力，属于中档题．
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期末1卷素质教育评估卷系列答案
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