Question

2．已知函数f（x）=$\frac{a}{3}$x³-$\frac{a+1}{2}$x²+x+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的极小值为4，且在点x=$\frac{1}{3}$处取到极大值，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f（1）=4，f′（$\frac{1}{3}$）=0，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=（ax-1）（x-1），f（1）=4，f′（$\frac{1}{3}$）=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{3}-\frac{a+1}{2}+1+b=4}\\{\frac{a}{9}-\frac{a+1}{3}+1=0}\end{array}\right.$，
解得：a=3，b=4，
∴f（x）=x³-2x²+x+4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）=（ax-1）（x-1），
（1）0＜a＜1时，$\frac{1}{a}$＞1，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（-∞，1）递增，在（1，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增，
（2）a=1时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，
（3）a＞1时，$\frac{1}{a}$＜1，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{a}$或x＞1，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜1，
故f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，1）递减，在（1，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．