Question

如图，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(1)求椭圆C的方程；
(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．

Answer 1

（1）＝1（2）3x＋2y＋2－2＝0.

(1)设椭圆左焦点为F(－c，0)，则由题意得得
所以椭圆方程为＝1.
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12＝0，①
则Δ＝64k²m²－4(3＋4k²)(4m²－12)＞0，，
所以线段AB的中点为M.
因为M在直线OP：y＝x上，所以＝，得m＝0(舍去)或k＝－.
此时方程①为3x²－3mx＋m²－3＝0，则Δ＝3(12－m²)＞0，，所以AB＝·|x₁－x₂|＝·，设点P到直线AB的距离为d，则d＝
.设△ABP的面积为S，则S＝AB·d＝.其中m∈(－2，0)∪(0，2)．令u(m)＝(12－m²)(m－4)²，m∈[－2，2]，u′(m)＝－4(m－4)(m²－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－)(m－1＋)．所以当且仅当m＝1－时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－时，S取到最大值．综上，所求直线l的方程为3x＋2y＋2－2＝0