Question

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P与A、B连线的斜率之积为－.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为r.
(ⅰ)求圆M的方程；
(ⅱ)当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）＝1(x≠±4)（2）(ⅰ)＋(y－r－3)²＝r².(ⅱ)y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切

(1)设P(x，y)，则直线PA、PB的斜率分别为k₁＝、k₂＝.
由题意知·＝－，即＝1(x≠±4)．
所以动点P的轨迹方程是＝1(x≠±4)．
(2)(ⅰ)由题意C(0，－2)，A(－4，0)，
所以线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3.
设M(a，2a＋3)(a＞0)，则圆M的方程为(x－a)²＋(y－2a－3)²＝r².
圆心M到y轴的距离d＝a，由r²＝d²＋，得a＝.
所以圆M的方程为＋(y－r－3)²＝r².
(ⅱ)假设存在定直线l与动圆M均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意．
设直线l：y＝kx＋b，则＝r对任意r＞0恒成立．
由，得r²＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)²＝(1＋k²)r².
所以解得或
所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切