Question

已知曲线E：ax²＋by²＝1(a>0，b>0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A、B，且＝－2.
(1)若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程；
(2)若a＝b＝1，求直线AB的方程．

Answer 1

（1）x²＋＝1（2）y＝x－1.

(1)设A(x₀，y₀)，由已知B(0，2)，M(，0)，所以＝，＝(x₀－，y₀)．
由于＝－2，所以(－，2)＝－2(x₀－，y₀)，所以即A(，－1)，将A、B点的坐标代入曲线E的方程，得解得
所以曲线E的方程为x²＋＝1.
(2)当a＝b＝1时，曲线E为圆x²＋y²＝1，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．又＝－2，
所以＝－2(x₁－，y₁)，
即有＋＝1①，＋＝1②，由①×4－②，得(2x₁＋x₂)(2x₁－x₂)＝3，所以2x₁－x₂＝，解得x₁＝，x₂＝0.由x₁＝，得y₁＝±.当A时，B(0，－1)，此时k_AB＝－，直线AB的方程为y＝－x＋1；
当A时，B(0，1)，此时k_AB＝，直线AB的方程为y＝x－1.