Question

18．已知函数f（x）=x|x-a|
（1）若函数y=f（x）+x在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在y=1图象的下方，求实数a的取值范围；
（3）设a≥2时，求f（x）在区间[2，4]内的值域．

Answer 1

分析 （1）y=f（x）+x=x|a-x|+x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（1-a）x\\;\\;x≥a}\\{-{x}^{2}+（1+a）x\\;\\;x＜a}\end{array}\right.$，要使函数y=f（x）+x在R上是增函数，只需$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1-a}{2}≤a}\\{\frac{-（1+a）}{2•（-1）}≥a}\end{array}\right.$即可，
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜1恒成立即可，
（3）当a≥2时，$\frac{a}{2}≥1$，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（a-x）\\;x＜a}\\{x（x-a），x≥a}\end{array}\right.$，根据二次函数的性质，分段求出值域即可．

解答 解：（1）y=f（x）+x=x|a-x|+x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（1-a）x\\;\\;x≥a}\\{-{x}^{2}+（1+a）x\\;\\;x＜a}\end{array}\right.$
由函数y=f（x）+x在R上是增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1-a}{2}≤a}\\{\frac{-（1+a）}{2•（-1）}≥a}\end{array}\right.$即-1≤a≤1，
则a范围为-1≤a≤1；…..（5分）
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜1恒成立，
即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即|a-x|＜$\frac{1}{x}$，-$\frac{1}{x}$＜x-a＜$\frac{1}{x}$，
即为x-$\frac{1}{x}＜a＜x+\frac{1}{x}$，
故只要x-$\frac{1}{x}＜a$且a$＜\frac{1}{x}+x$在x∈[1，2]上恒成立即可，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞（x-\frac{1}{x}）_{max}}\\{a＜（x+\frac{1}{x}）_{min}}\end{array}\right.$即$\frac{3}{2}＜a＜2$；…．（10分）
（3）当a≥2时，$\frac{a}{2}≥1$，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（a-x）\\;x＜a}\\{x（x-a），x≥a}\end{array}\right.$
（Ⅰ）当$\frac{a}{2}＞4$即a＞8时，f（x）在[2，4]上递增，f（x）_min=f（2）=2a-4，f（x）_max=f（4）=4a-16，∴值域为[2a-4，4a-16]
（Ⅱ）当2≤$\frac{a}{2}$≤4，及4≤a≤8时，f（x）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，f（2）-f（4）=12-2a
若4≤a＜6，值域为[4a-16，$\frac{{a}^{2}}{4}$]；若6≤a≤8，则值域为[2a-4，$\frac{{a}^{2}}{4}$]；
（Ⅲ）当1$≤\frac{a}{2}＜2$，即2≤a＜4时f（x）_min=0，且f（2）-f（4）=6-20，
若2≤a＜$\frac{10}{3}$，则值域为[0，16-4a]．，若$\frac{10}{3}≤a＜4$，则值域为[0，2a-4]…..（15分）

点评 本题考查了分段函数的值域，及恒成立的转化，属于中档题．