Question

3．已知函数 f（x）=4$\sqrt{3}sinxcosx-4{sin^2}$x+1
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，a=2，若对任意的x∈R不等式f（x）≤f（A）恒成立，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$ 解得函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）由题意得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z结合A的范围，解得A的值，由余弦定理可解得bc的最大值，由三角形面积公式即可求得△ABC面积的最大值．

解答 （本题满分15分）
解：（Ⅰ）$f（x）=4\sqrt{3}sinxcosx-4{sin^2}x+1$
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-2sin²x
=2$\sqrt{3}$sin2x+2cos2x-1
=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$ 解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ$+\frac{π}{6}$，k∈Z
所以函数f（x）的单调增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ$+\frac{π}{6}$]，k∈Z
（Ⅱ）由题意得当x=A时，f（x）取得最大值，则2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z及A∈（0，π）
解得A=$\frac{π}{6}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{4}bc$，
由余弦定理得4=b²+c²-2bccosA=b²+c²-$\sqrt{3}$bc$≥2bc-\sqrt{3}bc$
即bc$≤\frac{4}{2-\sqrt{3}}=4（2+\sqrt{3}）$
所以当b=c时，△ABC面积的最大值=$\frac{1}{4}×4（2+\sqrt{3}）$=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质，考查了基本不等式的应用，属于基本知识的考查．