Question

15．某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位共分为A、B、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付频率）．

工种类别	A	B	C
赔付频率	$\frac{1}{1{0}^{5}}$	$\frac{2}{1{0}^{5}}$	$\frac{1}{1{0}^{4}}$

对于A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为a元，a元，b元，出险后的赔偿金额分别为100万元，100万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．
（Ⅰ）若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a、b所要满足的条件；
（Ⅱ）现有如下两个方案供企业选择；
方案1：企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工；
方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．
若企业选择方案2的支出（不包括职工支出）低于选择方案1的支出期望，求保费a、b所要满足的条件，并判断企业是否可与保险公司合作．（若企业选择方案2的支出低于选择方案1的支出期望，且与（Ⅰ）中保险公司所提条件不矛盾，则企业可与保险公司合作．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的效益为随机变量X，Y，Z，
写出随机变量X、Y、Z的分布列，计算保险公司期望收益EX、EY、EZ；
根据要求列出不等式，求出a、b满足的条件；
（Ⅱ）计算企业不与保险公司合作时安全支出（即赔偿金的期望值），
以及企业与保险公司合作的安全支出（即保费），比较大小．

解答 解：（Ⅰ）设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的效益为随机变量X，Y，Z，
则随机变量X的分布列为：

X	a	a-100×104
P	$1-\frac{1}{{{{10}^5}}}$	$\frac{1}{{{{10}^5}}}$

随机变量Y的分布列为：

Y	a	a-100×104
P	$1-\frac{2}{{{{10}^5}}}$	$\frac{2}{{{{10}^5}}}$

随机变量Z的分布列为：

Z	b	b-50×104
P	$1-\frac{1}{{{{10}^4}}}$	$\frac{1}{{{{10}^4}}}$

保险公司期望收益为$EX=a×（{1-\frac{1}{{{{10}^5}}}}）$$+（a-100×{10^4}）×（{\frac{1}{{{{10}^5}}}}）$=a-10，
$EY=a×（{1-\frac{2}{{{{10}^5}}}}）+（a-100×{10^4}）×（{\frac{2}{{{{10}^5}}}}）$=a-20，
$EZ=b×（{1-\frac{1}{{{{10}^4}}}}）+（b-50×{10^4}）×（{\frac{1}{{{{10}^4}}}}）$=b-50；
根据要求（a-10）×20000×0.6+（a-20）×20000×0.3+（b-50）×20000×0.1-10×10⁴
≥（a×20000×0.6+a×20000×0.3+b×20000×0.1）×0.2，
解得9a+b≥275，
所以每张保单的保费需要满足9a+b≥275元；
（Ⅱ）若该企业不与保险公司合作，则安全支出，
即赔偿金的期望值为
20000×0.6×$\frac{1}{{10}^{5}}$×100×10⁴+0.3×$\frac{2}{{10}^{5}}$×100×10⁴+0.1×$\frac{1}{{10}^{4}}$×50×10⁴=17×20000；
若该企业与保险公司合作，则安全支出，
即保费为20000×（0.6×a+0.3×a+0.1×b）×0.6=（0.9×a+0.1×b）×0.6×20000；
解得9a+b＜283.33，
结果与（Ⅰ）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了不等式的应用问题，是综合题．